Число Грэма

Число, превышающее всё, что можно вообразить

Если к любому числу прибавить единицу, получится ещё бóльшее число! Не существует самого большого числа!
— Ожидаемая реакция на заголовок

Формально число Грэма (Graham’s Number) на какой-то момент времени являлось самым большим числом, когда–либо участвовавшим в строгом математическом доказательстве. Сейчас известны числа и побольше, но, в отличие от других подобных сверхбольших чисел, число Грэма можно хотя бы попытаться морально осмыслить.

Сразу можно сказать, что число Грэма окажется больше любых возможных фантазий читателя (ну кроме тех фантазий, где у читателя появляется девушка).

Число Грэма конструируется перемножением троек со всевозрастающей «скоростью», причём конструирование разбито на 64 шага. Попытаться объять можно только 1й (из 64х) шаг конструирования числа — этому и посвящена данная статья.

Содержание:

В целом же, число Грэма — это просто занятная математическая конструкция, единственная польза которой на данный момент — это расширение пределов человеческого воображения.

[1] О больших числах

Физически осмысленные большие числа

Человечество на данный момент оперирует числами не более $10^{30}$ (число со 30 нулями):

🔭

Здесь мы уже достигли пределов человеческой практической деятельности

Переходя к теоретическим физическим расчётам, можно рассмотреть следующие числа:

💡

Планковский объём $(V_p\approx4*10^{-105}\ м^3)$ — это минимальный объём «ячейки», которую можно «выделить» из Вселенной. Т.е. Вселенную нельзя «раздробить» на ещё более мелкие ячейки, чем на планковские объёмы.
(это сильно упрощённое описание, но нам здесь точнее и не нужно)

🔭

Полученное число — это предельное число, которое ещё сохраняет ну хоть какую-то связь с физической Вселенной.

Сверхбольшие числа

Ещё бóльшие числа (превышающие $10^{10^{185}}$) уже появляются только в абстрактных математических моделях, и только там и обитают.

Вольным движением души можно родить что-то в духе степенной башни высотой, например, в 100 элементов:

$10^{100^{100^{100^{\ …^{100}} }} }\Biggr]n=100$

🔭

Где-то здесь незнакомый с большими числами читатель обычно уже упирается в пределы своего воображения

И даже такие башни, и другие близкие к ним попытки записать сверхбольшое число — не выходят даже за самое начало 1го (из 64х) шага конструирования числа Грэма. Об этих самых «шагах» — ниже.

[2] О числе Грэма

Откуда берётся

Число Грэма появилось в результате ответа на никому не нужную задачу из комбинаторики:

❓

При каком минимальном числе размерностей $n$ можно определённым образом (каким — в рамках данной статьи не важно) гарантированно раскрасить рёбра n-мерного гиперкуба?

Ответ: в доказательстве Грэма говорится, что это число размерностей $n$ гарантированно будет лежать между числом 6 и неким большим числом, названным в последствии числом Грэма.

Сама эта задача из комбинаторики в данной статье нас интересовать не будет. Нас интересует только алгоритм конструирования числа.

Как записывается

Число Грэма полностью записывается следующим образом:

Те самые «64 шага конструирования» на картинке названы «слоями» (layers).

К подробному разбору этой картинки вернёмся позднее. Пока достаточно понимать следующее:

[3] Конструирование числа g₁

Число $g_1$ (первый шаг в конструировании числа Грэма) записывается так:

$g_1=3↑↑↑↑3$

Ниже мы последовательно разбираем:

Гипероператоры и нотация Кнута

Традиционные арифметические операции (сложение, умножение, возведение в степень) можно обобщить на более высокие порядки.

Для этого сложение считают гипероператором 1-го порядка (записывается как «гипероператор-1»), умножение — гипероператором 2-го порядка и т.д. В статье мы будем разбирать гипероператоры вплоть до 7-го порядка.

Нотацией Кнута называется просто способ обозначения этих гипероператоров стрелочками.

Вся нужная информация собрана в таблицу:

Обывательское название Название гипероператора Нотация Кнута
Сложение Гипероператор-1 +
Умножение Гипероператор-2 *
Возведение в степень Гипероператор-3 ↑
Степенная башня Гипероператор-4
(Тетрация)		 ↑↑
Вложение из башен Гипероператор-5
(Пентация)		 ↑↑↑
Кассета из вложений Гипероператор-6
(Гексация)		 ↑↑↑↑
Батарея из кассет Гипероператор-7 ↑↑↑↑↑
нет Гипероператор-8 ↑↑↑↑↑↑

💡

Названия Вложение, Кассета и Батарея придуманы мной для данной статьи (их смысл будет понятен далее). Т.е. они не являются традиционно употребимыми терминами.

💡

Может немного сбивать с толку то, что у Гипероператора-4 — две стрелки (а не четыре). Что поделаешь — в этой области приняты именно такие обозначения.

Переходим к последовательному рассмотрению гипероператоров. При этом помним, что наша главная задача сейчас — понять как конструируется число $g_1=3↑↑↑↑3$.

Для этого нам надо будет «вычислить» числа:

Для их «вычисления» последовательно разберём гипероператоры с 1-го по 6-й. Проделав всё это, затем попробуем прикинуть масштабы получившихся чисел.

Гипероператор-1, Сложение

Гипероператор-1 — это обычное сложение:

$3+5=8$

При построении числа Грэма оно нас не интересует.

Гипероператор-2, Умножение

Гипероператор-2 — это обычное умножение:

$3*4=12$

При построении числа Грэма оно нас тоже не интересует.

Гипероператор-3, Возведение в степень, Вычисление 3↑3

Гипероператор-3 — это первый оператор, который обозначается стрелочками. По сути же это — обычное возведение в степень.

Итак, вот как можно понимать Гипероператор-3:

💡

В качестве знака равенства мы будем часто использовать символ ⊜. Такое обозначение нужно только для того, чтобы знак равенства был хорошо различим на фоне дальнейших гигантских формул.

💡

Индекс «1» в «$n_1$» означает число стрелок гипероператора. Этот индекс введён просто для наглядности — чтобы это $n_1 $ отличалось от других $n$, появляющихся в последующих формулах.

💡

Обвод чёрной рамкой числа $\boxed{3↑3}$ сделан чисто в визуальных целях. Он не несёт за собой никакого доп. смысла.

Ниже мы будем обводить цветными рамками числа, напрямую задействованные в построении числа $g_1 $.

Главные выводы на данный момент:

1️⃣

$3↑3=3^3=27$

1️⃣

$3↑n_1$ — это возведение тройки в степень $n_1$

Гипероператор-4, Тетрация, Вычисление 3↑↑3

Гипероператор-4 — это первый оператор, который уже не встречается в традиционной арифметике.

💡

Каждый последующий гипероператор определяется через предыдущий. Так, например:

$3↑↑3=3↑3↑3=3↑(3↑3)$

$3↑↑4=3↑3↑3↑3=3↑(3↑(3↑3))$

Обратите внимание на то, как в этих выражениях могут расставляться скобки — мы это будем использовать дальше.

Для построения $g_1$ нас будет прежде всего интересовать число $3↑↑3$.

Вычислим его, расписав гипероператор $↑↑$ по только что указанному правилу. Также учтём, что мы уже знаем, что $3↑3=27$:

💡

Здесь мы снова число в визуальных целях обвели $3↑↑3$ рамкой (оранжевой), ибо это число понадобится нам далее.

Итого, мы получили:

2️⃣

$3↑↑3\approx7.6*10^{12}$

Чтобы подобраться к пониманию следующего гипероператора — построим формулы для $3↑↑4$ и $3↑↑n_2$:

Вывод, который мы отсюда делаем:

2️⃣

$3↑↑n_2$ — это степенная башня из $n_2$ троек

💡

Здесь индекс «2» в «$n_2$» снова означает просто число стрелок «↑↑» (их две) у гипероператора. Индекс, опять же, введён просто для наглядности — чтобы это $n_2$ отличалось от других $n$, появляющихся в последующих формулах.

Гипероператор-5, Пентация, Вычисление 3↑↑↑3

Для построения следующего шага используем 2 вещи:

  1. Используем уже известное нам правило:

    💡

    Каждый последующий гипероператор определяется через предыдущий.

    Так, например:

    $3↑↑↑3=3↑↑3↑↑3=3↑↑(3↑↑3)$

    $3↑↑↑4=3↑↑3↑↑3↑↑3=3↑↑(3↑↑(3↑↑3))$

  2. Мы уже знаем, что $3↑↑n_2$ — это степенная башня из $n_2$ троек.

Объединяя это всё, мы получаем:

3️⃣

$3↑↑↑3=3↑↑(3↑↑3)$ — это степенная башня из $3↑↑3$ троек.

Распишем это более наглядно:

💡

Здесь буквой $n$ обозначается «число троек в башне».

💡

И здесь мы тоже чисто в визуальных целях обвели $3↑↑↑3$ рамкой (синей), ибо это число понадобится нам далее.

Итого, мы получили:

3️⃣

$3↑↑↑3$ — это степенная башня из $3↑↑3\approx7.6*10^{12}$ троек

И далее, чтобы подобраться к пониманию гипероператора-6, построим последовательно формулы для $3↑↑↑4$ и $3↑↑↑5$, и обобщим их на $3↑↑↑n_3 $:

💡

В формулах индексами #4, #5 и т.п. обозначается номер башни. Порядок нумерации башен показан в формуле для $3↑↑↑4$.

Вообще говоря, башню, обозначенную индексом #4 можно было бы считать и за первую башню (#1) — это вопрос исключительно соглашения. В целом, на тех масштабах, которые вылазят дальше — это всё не имеет никакого значения. Сделал эту сноску просто для того, чтобы введённая нумерация не сбивала с толку.

Вывод, который мы отсюда делаем:

3️⃣

$3↑↑↑n_3$ — это вложение из $n_3$ степенных башен.

Гипероператор-6, Гексация, Вычисление 3↑↑↑↑3

Используем те же посылки, что и при вычислении предыдущего гипероператора:

🔨

  1. Каждый последующий гипероператор определяется через предыдущий.
  2. Мы уже знаем, что $3↑↑↑n_3$ — это вложение из $n_3$ степенных башен.

Объединяя написанное, получаем:

$3↑↑↑↑3=3↑↑↑(3↑↑↑3)$

$3↑↑↑↑3$ — это вложение из $3↑↑↑3$ степенных башен.

Распишем это более наглядно:

💡

Здесь мы тоже в чисто визуальных целях обводим число $3↑↑↑↑3$ рамкой — в этот раз зелёной.

Главный вывод отсюда:

4️⃣

$3↑↑↑↑3$ — это вложение из $3↑↑↑3$ степенных башен.

Теперь мы готовы порассматриваем число, которое хотели построить изначально — число $g_1$.

Построение g₁

Соберём всё, что нам известно к настоящему моменту:

1️⃣

$3↑3=3^3=27$

2️⃣

$3↑↑3=3^{3^3}\approx7.6*10^{12}$

3️⃣

$3↑↑↑3$ — это степенная башня из $3↑↑3\approx7.6*10^{12}$ троек:

4️⃣

$3↑↑↑↑3$ — это вложение из $3↑↑↑3$ степенных башен.

Словами эту формулу можно прочитать так:

Число $3↑↑↑↑3$ — это число, получающееся при вычислении степенной башни,
высота которой равна числу, получающемуся при вычислении степенной башни,
высота которой равна числу, получающемуся при вычислении степенной башни…
[и так 3↑↑↑3 раз] …
высота которой равна $7.6*10^{12}$

Итого, число $g_1=3↑↑↑↑3$ — это вложение из $3↑↑↑3$ степенных башен.

Лирический параграф: Осознание масштаба числа g₁

Начнём с числа $3↑↑↑3$:

3️⃣

$3↑↑↑3$ — это степенная башня из $3↑↑3\approx7.6*10^{12}$ троек:

Для понимания грандиозности этого числа, начнём строить степенные башни всё увеличивающейся высоты:

😥

По сути, все попытки хоть как-то пощупать числа, о которых здесь идёт речь — заканчиваются ровно на этом моменте. Число $3^{3^{3^3}}$ мы ещё смогли хоть как-то сравнить с длиной экватора. Начиная уже со следующего числа — связь с реальностью теряется полностью.

😥

Т.е. число Грэма уже здесь начало неприкрыто глумиться над децльностью физической Вселенной

😥

Вся эта тема с оборотами вокруг экватора и вероломным принуждением атомов к записи на себе чисел — это не тот случай, когда математику с языка специалистов в целях упрощения переводят на повседневный язык. Здесь просто не нашлось никаких других аналогий, позволяющих хоть как-то ещё прощупать масштаб этих чисел.

Если мы бессильны прочувствовать даже $3↑↑↑3$ (степенную башню высотой 380 земных экваторов), то говорить о $3↑↑↑↑3$ (представляющем собой вложение из $3↑↑↑3$ таких башен) — уже тупо нечего.

Но напомним, что всё это (нахождение $g_1=3↑↑↑↑3$) было только первым шагом в построении числа Грэма.

[4] Дальнейшее построение числа Грэма

Вернёмся к уже известной картинке:

Мы только что вычислили число $g_1$.

Ответим теперь на вопрос: что такое число $g_2$ ?

Вычисление g₂

Число $g_2$ — это число $(3↑↑..↑↑3)$, в котором число стрелочек равно числу $g_1$.

Иными словами:

$g_2=(3↑↑..↑↑3)$ — это гипероператор порядка $(g_1+2)$, применённый к тройке.

💡

Откуда взялось «+2»? Напомним, что, например, гипероператор 4-го порядка обозначается как ↑↑ (т.е. двумя стрелочки). Значит, если число стрелочек равно $g_1 $, то это обозначает гипероператор порядка $(g_1 +2)$.

На фоне масштаба числа $g_1$, добавка «+2» выглядит, конечно, своеобразно… Но зато всё математически строго. Все довольны.

Обратите внимание, насколько грандиозно прыгает масштаб чисел, при добавлении всего одной стрелочки:

1️⃣

$3↑3=27$ — обычное, хорошо воспитанное число

2️⃣

$3↑↑3\approx7.6*10^{12}$ — вменяемое, не вызывающее ужаса число

3️⃣

$3↑↑↑3$ — степенная башня высотой 380 экваторов Земли. Число, которое уже невозможно ни представить, ни сравнить ни с чем осмысленным.

4️⃣

$3↑↑↑↑3$ — это вложение из $3↑↑↑3$ степенных башен. Число настолько грандиозное, что про него уже нечего сказать.

При этом число $g_2=(3↑↑..↑↑3)$ содержит число стрелочек, равное $g_1$. Здесь мои полномочия уже окончательно всё.

Финальная сборка числа Грэма (от g₂ до g₆₄)

Далее алгоритм просто повторяется:

В итоге мы получили число Грэма:

$G=g_{64}$

Поздравляю, коллеги, число Грэма построено.

Заключение

В 1971м году Грэм доказал, что число размерностей $n$ из задачи раскрашивания граней куба должно лежать между числом 6 и числом Грэма. В 2008м году доказательство радикально улучшили. Нижнюю границу подняли, и теперь искомое число $n$ лежит уже между числом 13 и числом Грэма.

Что ж, мой дорогой друг. Вот и подошло к концу наше очередное удивительное путешествие в мир бесконечных самопровозглашённых математических абстракций. И как бы тяжело мне ни было в этом себе признаваться, но число Грэма всё-таки превосходит размеры даже твоей мамки 😔

Выводы делайте сами.

Ладно.

🔗

Бонус: дальнейшие гипероператоры

📱

Внимание! Формулы в этой главе ОЧЕНЬ большие. Скорее всего, их будет неудобно смотреть с мобилы.

При подготовке к статье я составил формулы ещё для трёх гипероператоров. Их построение ни к чему особо не ведёт. Привожу их просто в качестве красивых картинок.

😥

Я бы построил ещё больше гипероператоров, но движок формул (Word) уже отказался работать (постоянно вылетал, дико тормозил и т.п.). Плюс, формулы уже перестали влазить на экран (если только не начать вводить каких-нибудь сокращений — но с ними теряется весь смысл).

В любом случае, Word сдался позже, чем вся физическая Вселенная (которая с позором ушаталась уже об число $3^{3^{3^{3^3}} }$), поэтому выбирая где жить — во Вселенной или в Word, я конечно же выбираю Word.

Каждый следующий гипероператор будет выводиться из предыдущего по двум уже знакомым нам правилам:

🔨

  1. Определение гипероператора через предыдущий.

Пример: $3↑↑↑↑3=3↑↑↑(3↑↑↑3)$

🔨

  1. Использование обобщённой формулы предыдущего гипероператора.

Пример: для построения $3↑↑↑↑3$ используем, что $3↑↑↑n_3$ — это вложение из $n_3$ степенных башен.

Гипероператор-6 — продолжение

Ранее мы уже построили $3↑↑↑↑3$:

Дальнейшие построения, с учётом правил построения гипероператоров, выглядят следующим образом:

Отсюда вывод:

4️⃣

$3↑↑↑↑n_4$ — это кассета из $n_4$ вложений

Гипероператор-7, Построение 3↑↑↑↑↑3

Из всё тех же принципов, по которым мы ранее строили гипероператоры, выводится следующее:

5️⃣

$3↑↑↑↑↑3$ — это кассета из $3↑↑↑↑3$ вложений

В полной форме это выглядит так:

Далее, $3↑↑↑↑↑4$ — это кассета из $3↑↑↑↑↑3$ вложений, т.е.:

Аналогично, $3↑↑↑↑↑5$ — это кассета из $3↑↑↑↑↑4$ вложений, т.е.:

Обобщая, получаем формулу для $3↑↑↑↑↑n_5 $:

Итого, мы получили, что:

5️⃣

$3↑↑↑↑↑n_5$ — это батарея из $n_5$ кассет

Гипероператор-8, Построение 3↑↑↑↑↑↑3

Раз $3↑↑↑↑↑n_5$ — это батарея из $n_5$ кассет, значит:

6️⃣

$3↑↑↑↑↑↑3$ — это батарея из $3↑↑↑↑↑3$ кассет

Итого, получаем:

Собственно, здесь Word и сдох окончательно. Поэтому здесь и завершим наше удивительное путешествие в мир гипероператоров.

Таблица всех построенных чисел

Соберём вместе все построенные числа вплоть до $3↑↑↑↑↑↑3$ — просто чтобы ими полюбоваться:

1️⃣

$3↑3=27$

2️⃣

$3↑↑3\approx7.6*10^{12}$

3️⃣

$3↑↑↑3$ — это степенная башня из $3↑↑3\approx7.6*10^{12}$ троек

4️⃣

$3↑↑↑↑3$ — это вложение из $3↑↑↑3$ степенных башен.

5️⃣

$3↑↑↑↑↑3$ — это кассета из $3↑↑↑↑3$ вложений:

6️⃣

$3↑↑↑↑↑↑3$ — это батарея из $3↑↑↑↑↑3$ кассет:

Все формулы статьи также можно посмотреть в одном pdf-файле без комментариев:

{⇓ Graham.pdf}