Содержание:

Безмоментная теория оболочек

Предположения теории:

• Напряжения в оболочке постоянны по толщине
• Следовательно, отсутствует изгиб

Когда можно применять:

• У оболочки нет резких переходов
• Нет жёстких защемлений
• Нет нагружения сосредоточенными силами и моментами

Уравнение Лапласа

• $\frac{σ_m}{R_m}+\frac{σ_t}{R_t} = \frac p δ$
• p — давление (Па)
• δ — толщина стенки

При этом обычно $σ_m$ находят из уравнения равновесия на отсечённую часть.

Расчёт напряжений

Сферическая оболочка

Из уравнения Лапласа:

• $σ_m=σ_t$
• $σ_m=\frac{pD}{4δ}$

Собираем в Вон-Мизеса:

• $σ_1=σ_m$
• $σ_2=σ_m$
• $σ_3=p\approx 0$ (т.к. разрывные напряжения обычно порядка 200+ МПа, а давление — редко более 40 МПа, то на этом фоне $σ_3\approx0$)
• $σ_{VM}=\frac{1}{\sqrt2}\sqrt{(σ_m-0)^2+(σ_m-0)^2+(σ_m-σ_m)^2}=σ_m=\frac{pD}{4δ}$

Цилиндрическая оболочка

• $σ_m * πD * δ = p \frac{πD^2}{4}$
• $σ_m=\frac{pD}{4δ}$

$σ_t$ находим изз уравнения Лапласа:

• $R_m=\infty$
• $R_t=D/2$
• $σ_m=\frac{pD}{4δ}$
• $σ_t=2\frac{pD}{4δ}=2σ_m$

Собираем в Вон-Мизеса:

• $σ_1=2σ_m$
• $σ_2=σ_m$
• $σ_3=p\approx 0$
• $σ_{экв}=\frac{1}{\sqrt2}\sqrt{(2σ_m-σ_m)^2+(2σ_m-0)^2+(σ_m-0)^2}=\sqrt{3}*σ_m=\sqrt{3}\frac{pD}{4δ}$
• $σ_{III}=…=\frac{pD}{2δ}$

Напряжения в днище находим как для сферы (обращаю внимание, что здесь нужен диаметр именно днища, т.е. для плоского днища формула не работает):

• $σ_m=σ_{VM}=\frac{pD_{дн}}{4δ_{дн}}$

К сведениям, широко используется Формула Барлоу — она просто выражает p через σT:

• $p_{allow}=\frac{2*σ_{allow}*δ}{D}$
• Почему-то в качестве гипотезы прочности используется теория III, а не VM (они близки канеш, но всё ж)